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exprの変数tに関するラプラス変換を計算します。
以下の特殊関数はspecintで扱われます:
不完全ベータ関数、誤差関数
(誤差関数erfiではないです。erfiは例えば、erfに変換することは簡単です。)、
指数積分、(ベッセル関数の積を含む)ベッセル関数、ハンケル関数、エルミートおよびラーゲル多項式。
更に、specintは、超幾何関数%f[p,q]([],[],z)、
第一種Whittaker関数%m[u,k](z)第二種Whittaker関数%w[u,k](z)を
扱うことができます。
結果は、特殊関数の項になるかもしれませんし、未整理の超幾何関数を含むかもしれません。
laplaceがラプラス変換を見つけることに失敗した時、
specintがコールされます。
laplaceはラプラス変換に関するもっと一般的な規則を知っているので、
specintではなくlaplaceを使うのが望ましいです。
demo(hypgeo)は、specintによって計算されたラプラス変換のいくつかの例を表示します。
例:
(%i1) assume (p > 0, a > 0)$
(%i2) specint (t^(1/2) * exp(-a*t/4) * exp(-p*t), t);
sqrt(%pi)
(%o2) ------------
a 3/2
2 (p + -)
4
(%i3) specint (t^(1/2) * bessel_j(1, 2 * a^(1/2) * t^(1/2))
* exp(-p*t), t);
- a/p
sqrt(a) %e
(%o3) ---------------
2
p
指数積分の例:
(%i4) assume(s>0,a>0,s-a>0)$
(%i5) ratsimp(specint(%e^(a*t)
*(log(a)+expintegral_e1(a*t))*%e^(-s*t),t));
log(s)
(%o5) ------
s - a
(%i6) logarc:true$
(%i7) gamma_expand:true$
(%i8) radcan(specint((cos(t)*expintegral_si(t)
-sin(t)*expintegral_ci(t))*%e^(-s*t),t));
log(s)
(%o8) ------
2
s + 1
(%i9) ratsimp(specint((2*t*log(a)+2/a*sin(a*t)
-2*t*expintegral_ci(a*t))*%e^(-s*t),t));
2 2
log(s + a )
(%o9) ------------
2
s
gamma_incompleteの展開を使った時と、
expintegral_e1への表現の変形を使った時のの結果:
(%i10) assume(s>0)$
(%i11) specint(1/sqrt(%pi*t)*unit_step(t-k)*%e^(-s*t),t);
1
gamma_incomplete(-, k s)
2
(%o11) ------------------------
sqrt(%pi) sqrt(s)
(%i12) gamma_expand:true$
(%i13) specint(1/sqrt(%pi*t)*unit_step(t-k)*%e^(-s*t),t);
erfc(sqrt(k) sqrt(s))
(%o13) ---------------------
sqrt(s)
(%i14) expintrep:expintegral_e1$
(%i15) ratsimp(specint(1/(t+a)^2*%e^(-s*t),t));
a s
a s %e expintegral_e1(a s) - 1
(%o15) - ---------------------------------
a
一般化超幾何関数を他のより簡単な形式に整理します。 aは分子パラメータのリストで、bは分母パラメータのリストです。
もしhgfredが超幾何関数を整理できなければ、
形式%f[p,q]([a], [b], x)の式を返します。
ここでpはaの中の要素の数で、
qはbの中の要素の数です。
これは、通常のpFq一般化超幾何関数です。
(%i1) assume(not(equal(z,0)));
(%o1) [notequal(z, 0)]
(%i2) hgfred([v+1/2],[2*v+1],2*%i*z);
v/2 %i z
4 bessel_j(v, z) gamma(v + 1) %e
(%o2) ---------------------------------------
v
z
(%i3) hgfred([1,1],[2],z);
log(1 - z)
(%o3) - ----------
z
(%i4) hgfred([a,a+1/2],[3/2],z^2);
1 - 2 a 1 - 2 a
(z + 1) - (1 - z)
(%o4) -------------------------------
2 (1 - 2 a) z
以下の例が示すように、orthopolyもロードすることは有益なことがあります。 Lは、一般化ラーゲル多項式であることに注意してください。
(%i5) load("orthopoly")$
(%i6) hgfred([-2],[a],z);
(a - 1)
2 L (z)
2
(%o6) -------------
a (a + 1)
(%i7) ev(%);
2
z 2 z
(%o7) --------- - --- + 1
a (a + 1) a
ランバートW関数W(z)の主枝、
z = W(z) * exp(W(z))の解。
プラズマ分散関数
nzeta(z) = %i*sqrt(%pi)*exp(-z^2)*(1-erf(-%i*z))
realpart(nzeta(z))を返します。
imagpart(nzeta(z))を返します。
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